Bei einfacher Verzinsung werden Zinsen nur auf das ursprüngliche Kapital berechnet; beim Zinseszins werden bereits gutgeschriebene Zinsen mitverzinst. Dadurch kann derselbe Anfangsbetrag bei gleichem positivem Jahreszins und gleicher Laufzeit unterschiedlich wachsen. Wie groß der Unterschied ausfällt, hängt unter anderem davon ab, wie häufig die Zinsen dem verzinsten Guthaben zugeschlagen werden.
Was beim Zinseszins anders läuft
Das Anfangskapital ist der Betrag, mit dem eine Rechnung beginnt. Bei einfacher Verzinsung bleibt dieser Betrag die Berechnungsgrundlage. Solange Kapital und Zinssatz unverändert bleiben, entsteht in jedem gleich langen Zeitraum derselbe Zinsbetrag.
Beim Zinseszins wächst dagegen die Berechnungsgrundlage: Nach einer Zinsgutschrift werden die Zinsen zum Kapital hinzugefügt und im nächsten Zeitraum ebenfalls verzinst. Dieses Hinzufügen heißt Kapitalisierung. Den Unterschied zwischen beiden Berechnungsgrundlagen erläutert auch Banco Sabadell.
Für Sparer ist deshalb entscheidend, was nach einer Zinszahlung passiert. Bleiben die Zinsen Teil des verzinsten Guthabens, können sie weitere Zinsen erwirtschaften. Werden sie ausgezahlt und nicht wieder angelegt, entsteht auf diesen ausgezahlten Betrag kein Zinseszins.
Die Formeln: Zinssatz und Zeitraum müssen zusammenpassen
Für die folgenden Formeln gelten ein fester Zinssatz und eine einmalige Anfangseinzahlung. Zusätzliche Einzahlungen, Entnahmen, Gebühren und Steuern bleiben zunächst außen vor.
Die Buchstaben bedeuten:
- P: Anfangskapital
- r: Zinssatz als Dezimalzahl, beispielsweise 0,05 für 5 %
- t: Laufzeit in Jahren, wenn r ein Jahreszinssatz ist
- I: insgesamt entstandene Zinsen
- A: Endbetrag einschließlich Anfangskapital und Zinsen
Einfache Verzinsung
Der Zinsbetrag ergibt sich aus:
I = P × r × t
Für den Endbetrag wird das Anfangskapital hinzugerechnet:
A = P × (1 + r × t)
Diese Formel für einfache Verzinsung zeigt den linearen Zusammenhang: Bei unverändertem Kapital und festem Zinssatz bringt jedes weitere Jahr denselben zusätzlichen Zinsbetrag.
Zinseszins bei jährlicher Kapitalisierung
Werden die Zinsen einmal jährlich dem verzinsten Kapital zugeschlagen, lautet die Formel:
A = P × (1 + r)^t
Das Zeichen ^ steht für „hoch“. Bei drei Jahren wird der Faktor (1 + r) also dreimal miteinander multipliziert. Der gesamte Zinsbetrag ist anschließend I = A − P. Die Formel für jährlichen Zinseszins bildet damit die wiederholte Verzinsung des gewachsenen Guthabens ab.
Wichtig ist die Zeiteinheit: Ein Jahreszinssatz gehört zu einer Laufzeit in Jahren. Bei einem Zinssatz pro Monat muss die Zahl der Monate verwendet werden. Ein monatlicher Zinssatz und ein jährlicher Zinssatz beschreiben unterschiedliche Bedingungen.
Rechenbeispiel: 1.000 Euro für drei Jahre
Ein hypothetisches Vergleichsbeispiel von Raisin verwendet für beide Methoden 1.000 Euro Anfangskapital, 5 % Jahreszins und drei Jahre Laufzeit. Beim Zinseszins erfolgt die Kapitalisierung jährlich.
Es gibt keine zusätzlichen Einzahlungen, Entnahmen, Gebühren, Steuern oder Zinsänderungen. Die Rechnung beschreibt ein Modell, kein aktuelles Sparangebot.
| Berechnungsart | Zinsen nach drei Jahren | Endbetrag nach drei Jahren |
| Einfache Verzinsung, ohne Kapitalisierung | 150,00 € | 1.150,00 € |
| Zinseszins mit jährlicher Kapitalisierung | 157,63 € | 1.157,63 € |
Die Beträge sind auf Cent gerundet; gerechnet wird zunächst ohne Zwischenrundung.
Bei einfacher Verzinsung entstehen jedes Jahr 1.000 × 0,05 = 50 Euro Zinsen. Nach drei Jahren sind es insgesamt 150 Euro.
Beim Zinseszins beginnt die Rechnung genauso: Nach dem ersten Jahr beträgt das Guthaben 1.050 Euro. Im zweiten Jahr werden jedoch diese 1.050 Euro verzinst. Das ergibt 52,50 Euro Zinsen und ein Guthaben von 1.102,50 Euro. Im dritten Jahr entstehen darauf 55,125 Euro Zinsen.
Der ungerundete Endbetrag lautet somit:
1.000 × 1,05^3 = 1.157,625 Euro
Unter diesen Annahmen bringt die jährliche Kapitalisierung rund 7,63 Euro zusätzliche Zinsen gegenüber einfacher Verzinsung. Der Unterschied stammt vollständig aus der Mitverzinsung früherer Zinsgutschriften: Anfangskapital, Jahreszinssatz und Laufzeit sind gleich.
Wie sich eine längere Rechnung prüfen lässt
Bei einfacher Verzinsung bleibt der jährliche Zinsbetrag auch über lange Zeit konstant. Für das separate langfristige Beispiel von Raisin mit 10.000 Euro Anfangskapital und 5 % einfachem Jahreszins ergibt sich nach 50 Jahren:
10.000 × (1 + 0,05 × 50) = 35.000 Euro
Davon sind 25.000 Euro Zinsen: 500 Euro pro Jahr über 50 Jahre. So lässt sich ein langfristiger Endbetrag unmittelbar aus dem jährlichen Zinsbetrag und der Laufzeit nachvollziehen.
Nominaler Jahreszins und effektives Jahreswachstum
Die Angabe eines Jahreszinssatzes beantwortet noch nicht, wie häufig Zinsen kapitalisiert werden. Das ist wichtig, wenn ein nominaler Jahreszinssatz auf mehrere Zinsperioden innerhalb eines Jahres verteilt wird.
Ein separates hypothetisches Beispiel zeigt den Effekt: Ein nominaler Jahreszinssatz von 5 %, aufgeteilt auf zwölf gleiche Monatsperioden und mit monatlicher Kapitalisierung, ergibt ohne Gebühren ein effektives Jahreswachstum von ungefähr 5,116 %. Zusätzliche Einzahlungen und Entnahmen gibt es auch hier nicht.
Die Rechnung lautet:
(1 + 0,05 ÷ 12)^12 − 1 ≈ 0,05116 = 5,116 %
Der monatliche Zinssatz ist dabei 5 % ÷ 12, also ungefähr 0,4167 %. Jeden Monat werden die entstandenen Zinsen einbehalten und in den folgenden Monaten mitverzinst. Deshalb liegt das Wachstum über das gesamte Jahr etwas über dem nominalen Jahreszinssatz.
Allgemein gilt für diese Berechnungsweise:
A = P × (1 + r ÷ m)^(m × t)
Dabei ist m die Zahl der Kapitalisierungen pro Jahr. Bei monatlicher Kapitalisierung ist m = 12; bei jährlicher Kapitalisierung ist m = 1. Die Formel setzt voraus, dass der nominale Jahreszinssatz in gleiche periodische Zinssätze aufgeteilt wird und konstant bleibt.
Der effektive Jahreszuwachs beschreibt hier ausschließlich die Wirkung der Kapitalisierung. Für den tatsächlichen Ertrag eines Finanzprodukts kommen dessen Konditionen hinzu, etwa Gebühren, Zinsänderungen und Entnahmen.
Welche Bedingungen für Sparer entscheidend sind
Zinsgutschrift und Wiederanlage
Wer Erträge laufend ausgezahlt bekommen möchte, verfolgt ein anderes Ziel als jemand, der sämtliche Zinsen im Guthaben belässt. Die Auszahlung stellt Geld zur Verfügung; die Wiederanlage ermöglicht dessen weitere Verzinsung. Entscheidend ist deshalb, ob gutgeschriebene Zinsen tatsächlich Teil der nächsten Zinsberechnung werden.
Zinseszins ist dabei ein Rechenmechanismus, kein eigenständiges Anlageprodukt. Auch ein junges Alter und Schuldenfreiheit bestimmen für sich genommen nicht, welches Produkt passt. Dafür sind unter anderem Zinssatz, Kosten, Zugriffsmöglichkeiten und Risiken maßgeblich.
Fester Zinssatz und tatsächliche Wertentwicklung
Die Beispielrechnungen halten den Zinssatz über die gesamte Laufzeit konstant. Bei einem veränderlichen Kontozins muss jeder Abschnitt mit dem jeweils geltenden Zinssatz berechnet werden. Raisin weist darauf hin, dass sich die Verzinsung eines Sparkontos ändern kann.
Bei einer Geldanlage mit schwankenden Erträgen lässt sich die tatsächliche Wertentwicklung ebenfalls nicht aus einem gleichbleibenden Beispielzinssatz ableiten. Wiederangelegte Erträge können zum weiteren Wachstum beitragen; eine feste Rendite oder einen bestimmten Endbetrag garantiert der Zinseszinseffekt nicht.
Zusätzliche Einzahlungen und Entnahmen
Eine eigene Einzahlung vergrößert das Guthaben, ist aber kein Zinsertrag. Für eine Rechnung mit regelmäßigen Sparbeträgen reicht die Grundformel für eine einmalige Anfangseinzahlung deshalb nicht aus: Jede weitere Einzahlung braucht ihren eigenen Anlagezeitraum.
Eine Einzahlung zu Beginn eines Zeitraums wird länger verzinst als dieselbe Einzahlung an dessen Ende. Entnahmen verkleinern entsprechend den Betrag, auf den anschließend Zinsen entstehen. Der Zeitpunkt jeder Zahlung verändert somit den späteren Endbetrag.
